श्रीनिवास रामानुजन: अनंत माहित असलेला एक अलौकिक गणितज्ञ

श्रीनिवास रामानुजन: अनंत माहित असलेला एक अलौकिक गणितज्ञ

सन १९७६ मध्ये केंब्रिज विद्यापीठाच्या ट्रिनिटी कॉलेजच्या ग्रंथालयात प्रसिद्ध गणितज्ञ जॉर्ज अँड्र्यूज एका जुन्या पुस्तकाच्या शोधात होते. शेल्फ्स चाळत असताना त्यांची नजर एका धुळकट लाकडी पेटीवर पडली. उत्सुकतेपोटी त्यांनी ती पेटी उघडली, तेव्हा त्यांना आतमध्ये काही जुने कागद आणि हाताने लिहिलेली एक वही दिसली. वरवर पाहता ती वही अगदी साधी वाटत होती, पण जेव्हा त्यांनी ती चाळायला सुरुवात केली, तेव्हा त्यांच्या आश्चर्याला पारावार राहिला नाही.

या वहीत मॉक थीटा फंक्शन्स (Mock Theta Functions) आणि क्यू सिरीज (Q-Series) यांसारख्या विषयांवर ६०० हून अधिक जटिल सूत्रे होती. गंमत म्हणजे, जॉर्ज अँड्र्यूज यांनी स्वतः अनेक वर्षांपूर्वी मॉक थीटा फंक्शन्सवर पीएचडी केली होती आणि आता त्याच विषयाशी संबंधित सूत्रे अचानक त्यांच्यासमोर प्रकट झाली होती. ही धुळ खात पडलेली वही इतर कोणाची नसून, जगातील सर्वात रहस्यमय गणितज्ञ, श्रीनिवास रामानुजन यांची होती. ही ती हस्तलिखित नोट्स होती, जी त्यांनी आपल्या आयुष्याच्या शेवटच्या दिवसांत लिहिली होती आणि याच वहीला आज जग 'द लॉस्ट नोटबुक (The Lost Notebook)' म्हणून ओळखते. यातील सूत्रे पुढे विश्वातील सर्वात मोठे कोडे मानले जाणाऱ्या ब्लॅक होलला (Black Hole) समजून घेण्यासाठी अत्यंत महत्त्वपूर्ण ठरली.

रामानुजन यांची विचारसरणी त्यांच्या काळातील गणित आणि विज्ञान या दोन्ही क्षेत्रांपेक्षा कितीतरी पुढे होती. कोणत्याही औपचारिक प्रशिक्षणाशिवाय त्यांनी अशी गणिताची सूत्रे तयार केली, जी आजच्या आधुनिक तंत्रज्ञानाचा आणि विज्ञानाचा पाया बनली आहेत. आज त्यांची सूत्रे स्पेस-टाइम (Space-Time), क्वांटम गुरुत्वाकर्षण (Quantum Gravity) ते स्ट्रिंग थ्योरी (String Theory) यांसारख्या प्रगत संकल्पनांना समजून घेण्यासाठी उपयुक्त ठरतात. कॉम्प्युटर प्रोग्रामिंग, क्रिप्टोग्राफी आणि डेटा ॲनालिसिससारख्या प्रगत क्षेत्रांमध्येही त्यांच्या संशोधनाने महत्त्वाची भूमिका बजावली आहे. चला तर मग जाणून घेऊया, एका अत्यंत गरीब कुटुंबातून आलेले श्रीनिवास रामानुजन गणिताच्या आकाशातील कधीही न मावळणारे तारे कसे बनले, ज्यांना त्यांच्या अलौकिक प्रतिभेमुळे 'द मॅन हू न्यू इनफिनिटी (The Man Who Knew Infinity)' असे म्हटले जाते.

बालपण: संख्यांशी एक अनोखा संवाद

प्रोफेसर हार्डी यांच्या मते, गणिताची जी सूत्रे सोडवण्यासाठी मोठमोठ्या गणितज्ञांनाही ५ ते ६ तास लागत, ती सिद्ध करण्यासाठी रामानुजन विचार करायलाही वेळ घेत नसत. त्यांना संख्यांचे जादूगार असेही म्हटले जाते आणि त्यांच्या प्रतिभेने व मौलिक तर्कशक्तीने त्यांनी गणितात अनेक महान शोध लावले. भारताचे माजी पंतप्रधान मनमोहन सिंग यांनी २०१२ मध्ये २२ डिसेंबर हा राष्ट्रीय गणित दिन म्हणून घोषित केला.

श्रीनिवास रामानुजन यांचा जन्म २२ डिसेंबर १८८७ रोजी तामिळनाडूच्या एरोड येथे एका अत्यंत गरीब कुटुंबात झाला. त्यांचे वडील कुप्पू स्वामी श्रीनिवास अय्यंगार एका साडीच्या दुकानात नोकरी करत होते आणि त्यांना महिन्याला केवळ २० रुपये पगार मिळत असे, ज्यामुळे घरखर्च चालवणे कठीण होते. त्यांची आई कोमलतामल मंदिरात भजन गाऊन घर चालवायला मदत करत असे. रामानुजन हे त्यांच्या आई-वडिलांच्या अनेक वर्षांच्या प्रार्थना आणि नवसानंतर जन्माला आले होते. त्यांच्या पालकांना अनेक वर्षे संतान नव्हती, त्यामुळे ते नेहमी नामक्कल येथील नामगिरी लक्ष्मी नरसिंहा स्वामी मंदिरात जात असत. नामगिरी देवीला त्यांची कुलदेवी मानले जात असे आणि तिथेच ते मुलाच्या जन्मासाठी प्रार्थना करत असत.

रामानुजन यांचा जन्म झाला तेव्हा आसपासच्या परिसरात देवीची (स्मॉलपॉक्सची) साथ पसरली होती आणि २ वर्षांच्या वयात त्यांनाही या आजाराने ग्रासले. परिस्थिती इतकी बिकट होती की, त्याच वर्षी थंजपूर जिल्ह्यात देवीमुळे ४००० मुलांचा मृत्यू झाला होता. सुदैवाने, रामानुजन एका चमत्काराप्रमाणे यातून वाचले. पण त्यांच्या घरच्यांची चिंता तेव्हा वाढली, जेव्हा रामानुजन ३ वर्षांचे होऊनही एकही शब्द बोलत नव्हते. घरच्यांना वाटू लागले होते की, हे मूल मुके आहे. पण कोणाला काय माहीत होते की, जेव्हा हे मूल बोलेल, तेव्हा त्याची प्रतिभा संपूर्ण जगात घुमेल.

त्यांच्या आई-वडिलांना दिलासा तेव्हा मिळाला, जेव्हा रामानुजन एक दिवस अचानक, कोणत्याही उपचाराशिवाय, स्वतःहून बोलायला लागले. ५ वर्षांच्या वयात त्यांचे जवळच्याच एका स्थानिक शाळेत दाखला झाला. त्यांचे वडील नेहमी कामात व्यस्त असत, त्यामुळे त्यांचे बालपण आईच्या छायेत गेले. त्यांच्या आईनेच त्यांना परंपरा, पुराणे आणि धार्मिक गाण्यांचे शिक्षण दिले. ते अनेकदा आपल्या आईसोबत मंदिरात पूजेसाठी जात असत, यामुळे त्यांच्या मनात देवाविषयी गाढ श्रद्धा होती.

गणित या विषयात रामानुजन यांचे असाधारण कौशल्य सुरुवातीपासूनच दिसू लागले. त्यांनी आपल्या प्रश्नांनी शाळेतील शिक्षकांना आश्चर्यचकित करण्यास सुरुवात केली. जेव्हा ते तिसऱ्या वर्गात होते, तेव्हा त्यांचे शिक्षक वर्गात समजावत होते की, जेव्हा कोणत्याही संख्येला त्याच संख्येने भागले जाते, तेव्हा उत्तर नेहमी १ येते. यावर रामानुजन यांनी लगेच प्रश्न विचारला, "सर, जर असे आहे, तर शून्याला शून्याने भागल्यास उत्तर १ का येत नाही?" रामानुजन यांच्या या प्रश्नाचे शिक्षकांकडे कोणतेही उत्तर नव्हते आणि तिसऱ्या वर्गातील मुलाकडून असा प्रश्न ऐकून ते खूप थक्क झाले.

१० वर्षांच्या वयात रामानुजन यांनी आपले प्राथमिक शिक्षण जिल्ह्यात सर्वाधिक गुण मिळवून पूर्ण केले. पुढील शिक्षणासाठी त्यांचा शहरातील इंग्लिश मीडियम स्कूल, टाऊन हायर सेकंडरी स्कूलमध्ये दाखला झाला, जिथे त्यांचा औपचारिक गणिताशी पहिल्यांदा संवाद झाला. इथेच त्यांनी आपल्या सीनियर्सकडून क्यूबिक समीकरणे (Cubic Equations) सोडवायला शिकले आणि मग त्यांच्यासाठी जणू एक नवीन दार उघडले. गणित आता रामानुजन यांच्यासाठी केवळ एक विषय नव्हता, तर ती त्यांच्यासाठी एक साधना होती, ज्यात ते इतके खोलवर बुडून गेले की त्यांना वर्गात इतर विषयांची खबरही नसे.

त्यांना गणिताच्या समस्या सोडवण्यात इतका आनंद येऊ लागला की ते वरिष्ठ वर्गाची गणिताची पुस्तके वाचू लागले. केवळ १२ वर्षांच्या वयात रामानुजन यांनी एस. एल. लोनी यांच्या ट्रिग्नोमेट्रीवर लिहिलेले ऍडव्हान्स बुक (Advanced Book) पूर्णपणे आत्मसात केले होते. जिथे शाळांमध्ये मुलांना फक्त हे शिकवले जात असे की, ट्रिग्नोमेट्री म्हणजे त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर असते, तिथे रामानुजन कोणाकडूनही न शिकता, स्वतःहून ते सोडवण्यासाठी सर्वात कठीण पद्धत, इनफायनाईट सिरीज (Infinite Series) चा वापर करत असत. यानंतरही गणिताच्या परीक्षांमध्ये जिथे इतर विद्यार्थ्यांना ३ तास लागत, तिथे रामानुजन तेच पेपर फक्त ३० मिनिटांत पूर्ण करत असत. वरिष्ठ विद्यार्थी ज्या समस्यांमध्ये अडकलेले असत, त्या प्रश्नांना सोडवणे रामानुजन यांच्यासाठी डाव्या हाताचा खेळ होता. सातव्या वर्गातच रामानुजन आपल्यापेक्षा मोठ्या वर्गातील विद्यार्थ्यांना शिकवणी देऊ लागले, जेणेकरून ते घरखर्च चालवण्यासाठी आपल्या आई-वडिलांना मदत करू शकतील.

रामानुजन यांच्याकडे एक वेगळे नैसर्गिक कौशल्य होते. जिथे गणिताचे प्रश्न सोडवण्यासाठी मोठे-मोठे प्राध्यापकही लांब पद्धत वापरत, तिथे रामानुजन डोळे मिचकावताच त्यांना मानसिक गणिताने सोडवून टाकत. गणितात त्यांची रुची एक वेड बनत चालली होती. त्यांनी केवळ १५ वर्षांच्या लहान वयात क्यूबिक इक्वेशन्स, अंकगणित आणि भूमितीय सिरीजमध्ये स्वतःला पारंगत केले होते. इतकेच नव्हे, तर त्यांनी क्वाड्रिक इक्वेशन्स (Quadratic Equations) सोडवण्याची स्वतःची एक वेगळी पद्धत शोधून काढली होती.

'द सिनॉप्सिस' आणि औपचारिक शिक्षणातील संघर्ष

त्याच दिवसांत त्यांना एका मित्राकडून "अ सिनॉप्सिस ऑफ एलिमेंटरी रिझल्ट्स इन प्युअर अँड अप्लाईड मॅथेमॅटिक्स (A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics)" नावाचे एक पुस्तक मिळाले, ज्यात ५००० गणिताच्या प्रमेयांचा संग्रह होता. हे पुस्तक पाहून रामानुजन यांच्या डोळ्यात चमक आली. त्यांना असे वाटले जणू त्यांना आयुष्यातील सर्वात मौल्यवान वस्तू मिळाली आहे. त्यांनी ते वाचायला सुरुवात केली आणि ते त्यात इतके हरवून गेले की, त्यांनी ते पुस्तक अनेक वेळा वाचलेच नाही, तर त्या पुस्तकातील प्रत्येक प्रमेय स्वतःहून सिद्ध करण्यात ते गुंतले. याचा परिणाम असा झाला की, १९०४ मध्ये त्यांना गणितातील उत्कृष्ट कामगिरीसाठी त्यांच्या शाळेतर्फे के. रंगनाथा राव पारितोषिकाने सन्मानित करण्यात आले. हे पारितोषिक देताना शाळेचे प्राचार्य कृष्णस्वामी अय्यर यांनी सर्वांसमोर रामानुजन यांच्या प्रतिभेचे वर्णन करताना म्हटले होते की, "हे मूल परीक्षेत जास्तीत जास्त गुणांपेक्षाही जास्त गुण मिळवण्याची क्षमता ठेवते. याची प्रतिभा ए प्लस (A+) किंवा १००% सारख्या श्रेणींनी परिभाषित करता येत नाही, कारण त्यांच्या बुद्धिमत्तेला मोजण्यासाठी अजून कोणतेही माप दंड तयार झालेले नाहीत."

या सन्मानानंतर रामानुजन यांना कुंभकोणमच्या गव्हर्नमेंट आर्ट्स कॉलेजमध्ये पुढील शिक्षणासाठी शिष्यवृत्तीही मिळाली. पण इथे शिकत असताना त्यांच्यासोबत अशी एक घटना घडली, ज्यामुळे त्यांच्या आयुष्याची दिशाच बदलली. ते गणितात इतके बुडून गेले होते की त्यांना बाकीच्या विषयांचे काहीच भान राहिले नाही, ज्यामुळे जेव्हा त्यांच्या ११वीच्या परीक्षा झाल्या, तेव्हा ते गणिताव्यतिरिक्त इतर सर्व विषयांमध्ये नापास झाले. यामुळे त्यांना आपली शिष्यवृत्तीही गमवावी लागली. त्यांच्या घराची आर्थिक परिस्थिती आधीच खूप खराब होती, त्यामुळे या अपयशाने रामानुजन यांना आतून हादरवून टाकले. त्यांनी इतर विषयांमध्ये रस घेण्याचा खूप प्रयत्न केला, पण त्यांना पुन्हा असे वाटू लागले की ते गणिताशिवाय दुसरे काहीही समजू शकत नाहीत.

या दबावामुळे १९०५ मध्ये रामानुजन अचानक घर सोडून निघून गेले. ते सुमारे एक महिनाभर विशाखापट्टणम आणि राजमुंद्रीमध्ये इकडे-तिकडे भटकत राहिले. कसेबसे त्यांनी स्वतःला सावरले आणि घरी परतले. यानंतर त्यांनी मद्रासच्या पचैयप्पस कॉलेजमध्ये प्रवेश घेतला, पण इथेही त्यांच्यासाठी परिस्थिती बदलली नाही. जेव्हा परीक्षेची वेळ आली, तेव्हा रामानुजन पुन्हा गणिताव्यतिरिक्त इतर विषयांमध्ये नापास झाले. यामुळे ते खूप परेशान झाले होते. याच कारणामुळे त्यांनी औपचारिक शिक्षण कायमचे सोडण्याचा निर्णय घेतला आणि स्वतंत्र गणिताच्या संशोधनात गुंतले.

पण हा मार्ग त्यांच्यासाठी खूप कठीण होता. त्यांच्याकडे कोणतीही पदवी नव्हती, ज्यामुळे त्यांना कोणतीही नोकरी मिळत नव्हती. त्यांच्या घराची आर्थिक परिस्थिती इतकी खराब होती की, जिथे त्यांना कधीकधी उपाशीपोटी रात्र काढावी लागत असे, तिथे पेन आणि कागदाचे पैसे नसल्यामुळे त्यांना गणिताचे प्रश्न सोडवण्यासाठी स्लेट आणि खडूवरच अवलंबून राहावे लागत असे.

पुढील ५ वर्षे रामानुजन कोणत्याही नियमित उत्पन्नाशिवाय फक्त गणितात मग्न राहिले. ते स्लेटवर तासनतास लिहीत असत. सकाळी झोपेतून उठल्यावर त्यांच्या डोक्यात समीकरणे तयार असत, जी ते लगेच कुठेही नोंदवून घेत असत. त्यांच्या आईला ज्योतिषशास्त्रावर विश्वास होता आणि त्यांचे असे मत होते की, रामानुजन यांच्या कुंडलीत दोन शक्यता आहेत: एकतर त्यांचे आयुष्य लहान असेल आणि ते त्या लहान आयुष्यात जगभर नाव कमावतील, किंवा ते दीर्घकाळ जगतील, पण त्यांचे आयुष्य सामान्य माणसासारखे असेल.

१९०९ मध्ये रामानुजन यांचा विवाह जानकी देवी नावाच्या मुलीशी झाला. त्यावेळी त्यांची पत्नी केवळ १० वर्षांची होती, त्यामुळे ती तिच्या वडिलांच्या घरीच राहत असे. याच दरम्यान रामानुजन यांच्यासमोर आणखी एक मोठी अडचण उभी राहिली. त्यांच्या वृषणात हायड्रोसेल (Hydrocele) विकसित झाले होते, ज्याचे ऑपरेशन होणे खूप गरजेचे होते, पण त्यांच्या कुटुंबाकडे इतके पैसे नव्हते आणि नातेवाईकांनीही मदत करण्यास नकार दिला होता. अशा परिस्थितीत, जानेवारी १९१० मध्ये, डॉ. कुप्पू स्वामी यांनी स्वतःहून त्यांची मोफत शस्त्रक्रिया केली.

यानंतर रामानुजन मद्रासमध्ये एका मित्राच्या घरी राहण्यासाठी गेले आणि तेथून नोकरी शोधू लागले. ते इतके मजबूर झाले होते की रोज दारोदार जाऊन कोणतीतरी क्लार्कची नोकरी मागत होते. खूप प्रयत्नांनंतरही त्यांना कोणतीही नोकरी मिळाली नाही, त्यामुळे ते घरखर्च चालवण्यासाठी जवळच्या प्रेसिडेंसी कॉलेजमधील मुलांना शिकवणी देऊ लागले. या धावपळीत ते पुन्हा एकदा आजारी पडले आणि यावेळी ते इतके घाबरले की त्यांनी त्यांचे मित्र आर. राधाकृष्णन अय्यर यांना विनंती केली की, जर ते वाचले नाहीत, तर त्यांनी त्यांच्या संशोधन नोटबुक्स प्रोफेसर सिंगर रावेलू मुदलियार किंवा ब्रिटिश प्रोफेसर एडवर्ड बी. रॉस यांच्याकडे पोहोचवाव्यात, जेणेकरून त्यांचे काम जगासमोर येऊ शकेल.

जी. एच. हार्डी: एका प्रतिभेची पारख

सुदैवाने, रामानुजन यांच्या नशिबाने पुन्हा एकदा साथ दिली आणि ते या आजारातूनही बरे झाले. याच दरम्यान त्यांची भेट उपजिल्हाधिकारी व्ही. रामस्वामी अय्यर यांच्याशी झाली, जे इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटीचे (Indian Mathematical Society) संस्थापकही होते. रामानुजन यांनी त्यांना त्यांच्या नोटबुक्स दाखवल्या, ज्यात असे गणिताचे निकाल होते, जे पाहून रामस्वामी अय्यर थक्क झाले. त्यांना विश्वासच बसत नव्हता की, एवढे प्रगत गणिताचे काम औपचारिक शिक्षण अर्धवट सोडलेल्या मुलाकडून होऊ शकते. प्रभावित होऊन त्यांनी रामानुजन यांना एक परिचयपत्र दिले आणि त्यांच्या मित्र आणि नेल्लूरचे जिल्हाधिकारी आर. रामचंद्र राव यांच्याकडे पाठवले, जेणेकरून रामानुजन यांना मार्गदर्शन आणि मदत मिळू शकेल.

आर. रामचंद्र राव इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटीचे सचिवही होते. जेव्हा त्यांनी रामानुजन यांच्या नोटबुक्स पाहिल्या, तेव्हा तेही थक्क झाले. त्याचबरोबर त्यांच्या मनात एक शंकाही होती की, हे सर्व आकडेमोड रामानुजन यांनी स्वतः केली होती का? खरे तर, रामानुजन आपले काम इतरांना समजावून सांगण्यात तितके चांगले नव्हते. त्यांच्या गोष्टी बऱ्याचदा इतक्या क्लिष्ट असत की, समोरचा त्यांना पूर्णपणे समजू शकत नसे. त्यामुळे राव यांनी आधी स्वतः स्पष्टता मिळवण्यासाठी त्यांच्या काही गणितज्ञ मित्रांकडून रामानुजन यांच्या कामाची तपासणी करून घेतली आणि जेव्हा हे निश्चित झाले की हे सर्व निकाल खरोखरच रामानुजन यांचे स्वतःचे होते, तेव्हा त्यांनी केवळ त्यांचे कौतुकच केले नाही, तर आर्थिक मदतही केली, जेणेकरून ते आपले संशोधन कोणत्याही अडचणीशिवाय सुरू ठेवू शकतील.

यामुळेच १९११ मध्ये "सम प्रॉपर्टीज ऑफ बर्नौलीस नंबर्स (Some Properties of Bernoulli's Numbers)" या नावाने रामानुजन यांचा पहिला संशोधन पेपर इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटीच्या जर्नलमध्ये प्रकाशित झाला. हे व्यावसायिक गणिताच्या जगात त्यांचे पहिले मोठे पाऊल होते. याच दरम्यान रामानुजन यांच्या प्रतिभेला पाहून त्यांना महसूल विभागात ग्रेड फोर अकाउंटिंग क्लर्कची नोकरीही मिळाली, जिथे त्यांना दरमहा ३० रुपये पगार मिळू लागला. ते आपल्या कार्यालयाचे काम अत्यंत कार्यक्षमतेने पूर्ण करत असत, जेणेकरून ते आपल्या संशोधनासाठीही वेळ वाचवू शकतील.

ही नोकरी करत असतानाच, रामानुजन यांच्या गणिताच्या संशोधनावर सर फ्रान्सिस स्प्रिंग (Sir Francis Spring) या ब्रिटिश अधिकाऱ्याची नजर पडली, ज्यांना गणितात बरीच रुची होती. सर फ्रान्सिस स्प्रिंग त्यांच्या संशोधनाने खूप प्रभावित झाले. त्यांनी रामानुजन यांचे काम जगासमोर आणण्याचा निर्णय घेतला. त्यावेळी ब्रिटनमध्ये गणिताचे सर्वात मोठे बुद्धिमत्त होते, त्यामुळे १९१२ मध्ये सर फ्रान्सिस स्प्रिंग, नारायण अय्यर, रामचंद्र राव आणि ई. डब्ल्यू. मिडलमॅस यांनी एकत्र येऊन रामानुजन यांचे संशोधन कार्य इंग्लंडला पाठवण्याची तयारी सुरू केली.

त्यांचे पहिले पत्र लंडनच्या एका प्रोफेसर एम. जे. एम. हिल (M. J. M. Hill) यांच्याकडे पाठवण्यात आले, ज्यात बर्नौली नंबर्सवर त्यांचा संशोधन पेपरही समाविष्ट होता. एम. जे. हिल यांनी रामानुजन यांच्या कामाचे कौतुक केले, परंतु रामानुजन यांच्याकडे कोणतीही औपचारिक शिक्षण किंवा विद्यापीठाची पदवी नसल्यामुळे, त्यांनी कोणतीही मदत देण्यास नकार दिला. यानंतर रामानुजन यांचे काम केंब्रिज विद्यापीठातील दोन नामांकित गणितज्ञ ई. डब्ल्यू. हॉबसन (E. W. Hobson) आणि एच. एफ. बेकर (H. F. Baker) यांच्याकडे पाठवण्यात आले, पण यावेळी आणखी निराशाजनक प्रतिसाद मिळाला. दोघांनीही रामानुजन यांच्या पत्राला प्रतिसाद देणेही महत्त्वाचे मानले नाही.

काही दिवसांनंतर, १६ जानेवारी १९१३ रोजी रामानुजन यांनी केंब्रिज विद्यापीठाचे आणखी एक मोठे प्रोफेसर आणि प्रसिद्ध गणितज्ञ गॉडफ्रे हॅरल्ड हार्डी (G. H. Hardy) यांना एक सविस्तर पत्र लिहिले. या पत्रात त्यांनी आपल्या आपबितीसोबतच सुमारे १२० प्रमेयही लिहिली होती. एके दिवशी सकाळी जी. एच. हार्डी आपल्या घरात सहज फिरत असताना त्यांना रामानुजन यांचे ते पत्र मिळाले, जे पुढे केवळ हार्डी यांच्या विचारांनाच बदलणारे नव्हते, तर जगाच्या गणिताच्या इतिहासातही एका नवीन अध्यायाची सुरुवात करणारे होते.

हार्डी नंतर तो क्षण आठवून म्हणतात की, "त्या पत्रात काही असे गणिताचे निकाल आणि प्रमेय नमूद होती, ज्यापैकी काही ज्ञात होती, पण बाकीची अत्यंत विलक्षण आणि अविश्वसनीय होती." त्यापैकी बहुतेक कोणत्याही पुराव्याशिवाय होती, त्यामुळे सुरुवातीला हार्डींना रामानुजन यांचे काम फसवणूक वाटले. त्यांना वाटले की, हे पत्र अशा एखाद्या व्यक्तीचे आहे, जो यादृच्छिक प्रमेय बनवून जगाला फसवू इच्छितो. अशी पत्रे हार्डींना नेहमीच मिळत असत, त्यामुळे त्यांनी या पत्राकडे जास्त लक्ष दिले नाही आणि ते डस्टबिनमध्ये फेकून दिले.

यानंतर हार्डी आपल्या दैनंदिन दिनक्रमात व्यस्त झाले, पण त्यांच्या मनात दिवसभर त्या पत्रातील समीकरणे फिरत राहिली. त्यांच्या आत एक संघर्ष चालू होता की, हा माणूस खरोखरच एक ठग आहे की, एखादा नैसर्गिक प्रतिभावंत आहे, ज्याला ते आज पहिल्यांदाच भेटले आहेत. सायंकाळपर्यंत हार्डींनी आपला हा गोंधळ त्यांचा मित्र जॉन एडसन लिटलवूड (John Edensor Littlewood) यांच्याशी शेअर केला, जे स्वतः एक मोठे गणितज्ञ होते. त्याच दिवशी दोघांनी रात्रीच्या जेवणावर रामानुजन यांच्या त्या पत्राचा सविस्तर अभ्यास केला आणि खूप दीर्घ चर्चेनंतर दोघे या निष्कर्षावर पोहोचले की, रामानुजन एक नैसर्गिक गणिताचे प्रतिभावंत आहेत, ज्यांना महान गणितज्ञ गॉस (Gauss) आणि यूलर (Euler) यांच्या स्तरावर ठेवले पाहिजे.

हार्डी रामानुजन यांच्या प्रतिभेने इतके आनंदित झाले होते की, त्यांनी रामानुजन यांच्या त्या पत्राला आपल्या आयुष्यातील एक रोमँटिक घटना म्हटले होते. नंतर त्यांनी म्हटले होते, "रामानुजन यांच्या प्रमेयांनी मला पूर्णपणे हरवले. मी यापूर्वी कधीही अशी प्रमेय पाहिली नव्हती. केवळ एक नजर टाकल्याने हे स्पष्ट होते की, ही कोणत्याही सामान्य गणितज्ञाची असू शकत नाहीत. हे केवळ सर्वोच्च स्तरातील गणितज्ञच लिहू शकतात. हे सत्य असले पाहिजे, कारण जर हे सत्य नसते, तर कोणी त्यांची कल्पनाही करू शकले नसते."

यानंतर हार्डी आणि लिटलवूड यांनी रामानुजन यांच्या कामाची चर्चा त्या काळातील महान गणितज्ञ आणि तत्त्वज्ञ बर्ट्रँड रसेल (Bertrand Russell) यांच्याशी केली. बर्ट्रँड रसेल यांना जेव्हा रामानुजन यांच्याबद्दल सांगितले गेले, तेव्हा हार्डींनी अभिमानाने म्हटले की, "आम्ही मद्रासच्या एका हिंदू क्लार्कच्या रूपात दुसरा न्यूटन (Newton) शोधून काढला आहे." इतक्या मोठ्या गणितज्ञांकडून रामानुजन यांची इतक्या मोठ्या नावांसोबत तुलना करणे स्पष्टपणे दर्शवते की रामानुजन यांचे काम किती उच्च स्तराचे आणि अपवादात्मक होते.

हार्डी यांनी रामानुजन यांना काही प्रमेयांचे पुरावे आणि मूळ संख्यांवरील त्यांच्या संशोधनाचे काही आणखी भाग पाठवण्याची विनंतीही केली. हार्डी यांच्या प्रतिसादाने अनेक वर्षांपासून आपली ओळख बनवण्यासाठी तळमळलेल्या रामानुजन यांच्या आनंदाला ठिकाणा राहिला नाही. त्यांचा आत्मविश्वास गगनाला भिडला आणि लवकरच त्यांनी हार्डी यांना दुसरे पत्र लिहिले.

रामानुजन आणि जी. एच. हार्डी दोघे एकमेकांपेक्षा खूप वेगळे होते. हार्डी एक कट्टर नास्तिक होते, जे फक्त त्याच गोष्टींवर विश्वास ठेवत होते, ज्या तर्क आणि पुराव्यावर आधारित होत्या. दुसरीकडे, रामानुजन एक अत्यंत आध्यात्मिक व्यक्ती होते. देवावर त्यांचा इतका गाढ विश्वास होता की ते म्हणत असत की, "जे समीकरण देवाच्या विचारांना प्रतिबिंबित करत नाही, त्याचा माझ्यासाठी काहीही अर्थ नाही." जेव्हा त्यांना विचारले जाई की, "एवढी अवघड समीकरणे इतक्या सहजपणे कशी तयार करता?", तेव्हा ते उत्तर देत की, "आई नामगिरी देवी (Goddess Namagiri) माझ्या स्वप्नात येऊन हे सर्व सांगून जाते."

हार्डी आणि रामानुजन यांची बालपणातील जडणघडण, विश्वास प्रणाली आणि शैक्षणिक पार्श्वभूमी सर्व एकमेकांपेक्षा वेगळी होती. एकीकडे, रामानुजन यांच्याकडे कोणतीही औपचारिक कॉलेजची पदवीही नव्हती, तर दुसरीकडे हार्डी यांच्याकडे सर्वोत्तम शैक्षणिक अनुभव होता. पण एक गोष्ट होती, जी त्यांना जोडत होती - ती म्हणजे गणित. याच सामायिक वेडाने भूगोल, धर्म आणि विचारसरणीतील सर्व फरक मिटवले होते. दोन गणिताचे बुद्धिमत्त एकत्र येऊन, येणाऱ्या काळात जगाला गणितातील काही सर्वात क्लिष्ट आणि सुंदर प्रमेय देणार होते.

रामानुजन यांच्या संशोधनाची जादू जी. एच. हार्डी यांच्यावर इतकी प्रभावी झाली की त्यांनी रामानुजन यांना केंब्रिजला येऊन त्यांच्यासोबत संशोधन करण्यासाठी आमंत्रित केले. आता रामानुजन यांच्याकडे जगातील सर्वात प्रतिष्ठित गणितज्ञांसोबत काम करण्याची संधी होती. रामानुजन या संधीसाठी खूप आनंदी होते, पण तेव्हाच त्यांच्यासोबत पुन्हा एकदा एक विचित्र घटना घडली.

इंग्लंडमधील जीवन आणि आव्हान

रामानुजन एका कर्मठ ब्राह्मण कुटुंबातील होते आणि त्या दिवसांत समुद्र पार करणे खूप अशुभ मानले जात असे, त्यामुळे त्यांच्या आईला त्यांचा मुलगा समुद्र पार करावा असे वाटत नव्हते. याशिवाय, रामानुजन स्वतःही खूप धार्मिक होते. ते देवी नामगिरीचे मोठे भक्त होते आणि त्यांना भीती होती की ब्रिटनमध्ये जाऊन त्यांना मांसाहार करावा लागू शकतो, ज्यामुळे त्यांचे धार्मिक नियम मोडले जातील. या भीतीमुळे आणि कौटुंबिक दबावामुळे रामानुजन यांनी इतकी चांगली संधी हातातून जाऊ दिली आणि ब्रिटनला जाण्यास नकार दिला.

जी. एच. हार्डींना जेव्हा हे कळले, तेव्हा त्यांना धक्काच बसला. त्यांना उम्मीद होती की रामानुजन ही संधी हातातून जाऊ देणार नाहीत, पण धार्मिक विश्वासांमुळे रामानुजन यांनी माघार घेतली होती. हार्डींनीही हार मानली नाही आणि आपल्या एका सहकाऱ्याशी, एच. नेविल (H. Neville) यांच्याशी संपर्क साधला, जे त्यावेळी मद्रासमध्येच व्याख्यानासाठी आले होते. हार्डींनी नेविल यांना रामानुजन यांना ब्रिटनला येण्यासाठी पटवून देण्याची विनंती केली.

असे म्हटले जाते की याच दरम्यान रामानुजन यांच्या आईने एक विचित्र स्वप्न पाहिले, ज्यात रामानुजन परदेशी लोकांच्या गर्दीत होते. त्यांना स्वप्नात कुलदेवी माता नामगिरी दिसल्या, ज्यांनी त्यांना आदेश दिला की, त्यांनी रामानुजन यांच्या मार्गात अडथळा बनू नये, कारण त्यांच्या मुलाचा जन्म एखाद्या मोठ्या उद्देशाची पूर्तता करण्यासाठी झाला आहे. त्या स्वप्नानंतर त्यांच्या आईने रामानुजन यांना ब्रिटनला जाण्याची परवानगी दिली.

जी. एच. हार्डींना ही बातमी मिळताच ते लगेच सक्रिय झाले. त्यांनी नेविल यांना सांगितले की, त्यांनी मद्रास विद्यापीठातून रामानुजन यांच्या खर्चासाठी शिष्यवृत्ती मिळवावी. याबद्दल नेविल यांनी विद्यापीठाला लिहिले, "द डिस्कव्हरी ऑफ द जीनियस ऑफ एस. रामानुजन ऑफ मद्रास प्रॉमिसेस टू बी द मोस्ट इंटरेस्टिंग इव्हेंट ऑफ अवर टाइम इन द मॅथेमॅटिकल वर्ल्ड (The discovery of the genius of S. Ramanujan of Madras promises to be the most interesting event of our time in the mathematical world)." यानंतर मद्रास विद्यापीठाने रामानुजन यांना ब्रिटनला पाठवण्यासाठी सरकारकडून विशेष परवानगी मिळवली आणि त्यांच्या प्रवासाची व इतर गोष्टींची व्यवस्था केली. सर्व तयारी पूर्ण झाल्यावर, १७ मार्च १९१४ रोजी रामानुजन जहाजाने ब्रिटनसाठी निघाले आणि सुमारे १ महिन्याच्या प्रवासानंतर १४ एप्रिल रोजी ब्रिटनमध्ये पोहोचले.

ब्रिटनमध्ये रामानुजन यांना नेविल यांच्या घरी थांबवण्यात आले, जे हार्डींच्या निवासस्थानाच्या खूप जवळ होते. तिथे पोहोचताच रामानुजन यांनी लगेच लिटलवूड आणि हार्डींसोबत काम करण्यास सुरुवात केली. केंब्रिज विद्यापीठातील ट्रिनिटी कॉलेजमध्ये रामानुजन यांनी हार्डी आणि लिटलवूड यांच्यासोबत मिळून अनेक महत्त्वाच्या गणिताच्या प्रकल्पांवर काम केले. हार्डींनी रामानुजन यांच्या संशोधनाला परिष्कृत करण्यातच मदत केली नाही, तर ब्रिटिश शैक्षणिक प्रणाली त्यांच्यासाठी सुलभ आणि व्यवस्थापित करण्यायोग्य बनवली. रामानुजन सहजपणे गणिताची अवघडात अवघड प्रमेय समजून घेत असत, पण ते आधुनिक गणितात प्रशिक्षित नव्हते, त्यामुळे ते संकल्पनेचा पुरावा देण्याऐवजी थेट निष्कर्षावर पोहोचत असत. हार्डींसाठी हीच चिंतेची बाब होती. रामानुजन यांची समीकरणे जगासमोर आणण्यासाठी आधुनिक गणिताच्या पद्धतींचा वापर आवश्यक होता, त्यामुळे हार्डींनी त्यांच्या पद्धतीत बदल न करताच त्यांना औपचारिक गणितात प्रशिक्षित केले.

रामानुजन आणि हार्डी यांच्या जोडीने गणिताच्या जगात क्रांती घडवून आणली. त्यांनी पार्टिशन थ्योरी (Partition Theory) आणि इलॅप्टिक फंक्शन्स (Elliptic Functions) यांसारख्या संकल्पनांवर काम केले, जे आजही गणितज्ञांना प्रेरणा देतात. २ वर्षांत रामानुजन यांनी इतके असाधारण काम केले होते की, १९१६ मध्ये केंब्रिज विद्यापीठाने त्यांना बी. ए. (BA) ची पदवी प्रदान केली. हे त्यांच्या अतुलनीय प्रतिभेचेच फलित होते की, त्यांना ही पदवी शैक्षणिक अभ्यासक्रम पूर्ण करण्यासाठी नव्हे, तर हायली कंपोझिट नंबर्सवर (Highly Composite Numbers) केलेल्या त्यांच्या संशोधनासाठी देण्यात आली होती. त्याच वर्षी मार्च १९१६ मध्ये, त्यांचे ते संशोधन पेपर "प्रोसीडिंग्स ऑफ द लंडन मॅथेमॅटिकल सोसायटी (Proceedings of the London Mathematical Society)" च्या मुखपृष्ठावर प्रकाशित झाले.

रामानुजन यांचे काम इतके असाधारण होते की, पुढच्या वर्षी ६ डिसेंबर १९१७ रोजी त्यांना लंडन मॅथेमॅटिकल सोसायटीचे सदस्य म्हणून निवडले गेले आणि त्यानंतर एक वर्षाने, १९१८ मध्ये त्यांना रॉयल सोसायटी ऑफ लंडनचे (Royal Society of London) फेलो बनवण्यात आले. ते रॉयल सोसायटीचे सदस्य बनणारे दुसरे भारतीय होते आणि रॉयल सोसायटीच्या इतिहासात तोपर्यंतच्या सर्वात तरुण फेलोजपैकी एक होते. इतकेच नाही, तर १३ ऑक्टोबर १९१८ रोजी त्यांना ट्रिनिटी कॉलेजचे फेलो म्हणूनही निवडले गेले आणि असे करणारे ते पहिले भारतीय होते. रामानुजन त्यावेळी केवळ गणिताच्या जगातील उगवते तारेच बनले नव्हते, तर त्यांनी एक उदाहरणही घालून दिले होते की, प्रतिभा कोणत्याही औपचारिक पदवी, कोणत्याही श्रीमंत पार्श्वभूमी किंवा कोणत्याही विशेषाधिकारप्राप्त संगोपनावर अवलंबून नसते.

संघर्ष, आजार आणि 'द लॉस्ट नोटबुक'

हार्डी यांना भेटल्यानंतर रामानुजन यांना जागतिक ओळख मिळाली होती, परंतु ब्रिटनचे थंड आणि दमट हवामान त्यांच्यासाठी सततचा संघर्ष बनले होते. ते या हवामानाशी जुळवून घेऊ शकत नव्हते. याशिवाय, एक कठोर शाकाहारी असल्यामुळे त्यांना तिथे योग्य अन्नही मिळत नव्हते, त्यामुळे ते आपले जेवण स्वतःच बनवत असत. पण दीर्घकाळ निरोगी अन्न न मिळाल्याने, अति काम आणि एकाकीपणामुळे त्यांची तब्येत हळूहळू बिघडायला लागली. त्यांना क्षयरोग (Tuberculosis) झाला होता आणि ते तीव्र व्हिटॅमिनच्या कमतरतेनेही ग्रासले होते. यासोबतच ते भावनिकरित्याही तुटत चालले होते, कारण ते अनेक वर्षांपासून आपल्या कुटुंबापासून आणि पत्नीपासून दूर होते. त्यांना आपल्या घरच्यांची आठवण येत असे, पण त्यावेळी ब्रिटन पहिल्या महायुद्धात गुंतले होते, त्यामुळे त्यांचे भारतात येणेही शक्य होत नव्हते.

या सर्व अडचणींचा त्यांच्या शारीरिक आरोग्यावर तसेच त्यांच्या मानसिक आरोग्यावरही परिणाम झाला आणि ते हळूहळू नैराश्याचे (Depression) शिकार झाले. ते इतके त्रासले होते की त्यांनी आत्महत्या करण्याचा प्रयत्न केला आणि एके दिवशी धावत्या ट्रेनसमोर उडी मारली, पण चालकाच्या हुशारीने त्यांचे प्राण वाचले. स्वतःचा जीव घेणे ब्रिटनमध्ये गुन्हा मानले जाते, त्यामुळे स्कॉटलंड यार्डने (Scotland Yard) त्यांना अटक केली होती. मात्र, जी. एच. हार्डींनी त्यांना लवकरच सोडवले.

इतक्या अडचणी असूनही, गणिताबद्दलची त्यांची श्रद्धा कमी झाली नव्हती. ते हॉस्पिटलच्या बेडवरही झोपून समीकरणे आणि सिद्धांतांवर काम करत असत. असेच एकदा जेव्हा रामानुजन हॉस्पिटलमध्ये दाखल होते, तेव्हा हार्डी त्यांची विचारपूस करण्यासाठी १७२९ नंबरच्या टॅक्सीने हॉस्पिटलमध्ये आले होते. नंबरबद्दल त्यांच्यात नेहमीच चर्चा होत असे, त्यामुळे हार्डींनी रामानुजन यांच्याजवळ पोहोचताच म्हटले, "१७२९ एक खूपच कंटाळवाणा नंबर आहे." यावर रामानुजन यांनी मनातल्या मनात आकडेमोड करत लगेच उत्तर दिले, "नाही, १७२९ एक खूपच मनोरंजक नंबर आहे, कारण १७२९ हा असा सर्वात लहान नंबर आहे, ज्याला दोन वेगवेगळ्या प्रकारे दोन घनांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिता येते." पुढे रामानुजन यांनी त्यांना सांगितले की, १७२९ ला 12^3 + 1^3 आणि 10^3 + 9^3 च्या रूपात व्यक्त करता येते. आजारी असूनही त्यांचे हे उत्तर ऐकून हार्डी थक्क झाले होते. पुढे हाच नंबर १७२९ हार्डी-रामानुजन नंबर नावाने ओळखला जाऊ लागला.

रामानुजन यांच्या तब्येतीत कोणतीही सुधारणा होत नव्हती, त्यामुळे ते १९१९ मध्ये आपल्या मूळ गावी कुंभकोणमला परत आले. इथेही त्यांच्यावर उपचार करण्यात आले आणि त्यांना बरे करण्यासाठी सर्व प्रकारचे प्रयत्न केले गेले, पण त्या काळात क्षयरोगावर कोणताही विश्वासार्ह उपचार उपलब्ध नव्हता, त्यामुळे त्यांची प्रकृती आणखी बिघडत गेली. त्यांना खूप तीव्र वेदना होत असत, पण तरीही त्यांनी आपले संशोधनाचे काम सोडले नाही. आपल्या शेवटच्या दिवसांत, जेव्हा त्यांना वाटू लागले की आता ते वाचणार नाहीत, तेव्हा त्यांनी हार्डी यांना एक पत्र लिहिले. त्या पत्रात त्यांनी मॉक थीटा फंक्शन्स बद्दल सांगितले, जे तोपर्यंत पूर्ण जगासाठी एक रहस्य होते. पण हार्डी रामानुजन यांना कोणतेही उत्तर देऊ शकण्यापूर्वीच, २६ एप्रिल १९२० रोजी, केवळ ३२ वर्षांच्या लहान वयात, गणिताच्या या महान ताऱ्याने जगाला निरोप दिला.

एवढ्या कमी वयात रामानुजन यांनी अशी गणितीय वारसा सोडली, जी आजही जगभरातील विद्वान आणि वैज्ञानिकांसाठी प्रेरणा आहे. नंतर त्यांचे धाकटे भाऊ, टी. नारायणन यांनी रामानुजन यांच्या हस्तलिखित नोट्स संकलित केल्या, ज्यात त्यांचे सिंग्युलर मॉड्यूलर, हायपरजिओमेट्रिक सिरीज आणि कंटिन्यूड फ्रॅक्शन्सवरील सूत्रे समाविष्ट होती. नंतर अनेक गणितज्ञांनीही त्यांच्या नोटबुक्सचा पुन्हा शोध घेतला आणि त्यांच्या आधारावर नवीन शोध लावले.

रामानुजन यांचा अमूल्य वारसा

रामानुजन यांनी गणिताच्या क्षेत्रात ३९०० हून अधिक सूत्रांचे योगदान दिले, त्यापैकी अनेक आजही संशोधन, तंत्रज्ञान आणि आधुनिक विज्ञानात वापरले जात आहेत. रामानुजन यांनी आपल्या नोटबुक्समध्ये 1/\pi ला अनंत मालिकेत (Infinite Series) दर्शवण्याचे १७ मार्ग लिहिले होते. आज आधुनिक संगणकांच्या मदतीने \pi च्या अब्जावधी दशांश स्थानांपर्यंत ज्या गणना शक्य झाल्या आहेत, त्या रामानुजन यांच्या सूत्रांची देणगी आहेत. त्यांच्या मॉक थीटा फंक्शन्सचा उपयोग आज फक्त गणितापुरता मर्यादित नाही, तर वैद्यकीय विज्ञानात कॅन्सरसारख्या जटिल आजारांना समजून घेण्यातही होत आहे. याशिवाय, रामानुजन यांनी इनफायनाईट सिरीज सोडवण्याच्या नवीन तंत्रे आणि सूत्रे देखील शोधली होती, जी आज आधुनिक गणिताचा कणा बनली आहेत

रामानुजन यांची मॉड्यूलर फंक्शन्स (Modular Functions) आणि मॉक थीटा फंक्शन्स सारखी काही समीकरणे नंतर सैद्धांतिक भौतिकशास्त्रात (Theoretical Physics) अत्यंत महत्त्वाची ठरली. २०१२ मध्ये वैज्ञानिकांना आढळले की रामानुजन यांच्या मॉक थीटा फंक्शन्सचा वापर ब्लॅक होल्सची एंट्रॉपी (Black Hole's Entropy) समजून घेण्यासाठी करता येतो. रामानुजन यांनी सुमारे १०० वर्षांपूर्वी कोणत्याही वैज्ञानिक उपकरणांशिवाय जी सूत्रे तयार केली होती, ती आज स्पेस-टाइम, क्वांटम ग्रेविटी आणि स्ट्रिंग थ्योरी सारख्या प्रगत संकल्पनांना समजून घेण्याची गुरुकिल्ली बनली आहेत. कॉम्प्युटर प्रोग्रामिंग, क्रिप्टोग्राफी आणि डेटा ॲनालिसिस सारख्या प्रगत क्षेत्रांमध्येही त्यांचे संशोधन महत्त्वाची भूमिका बजावत आहे.

त्यांच्या सन्मानार्थ देशात टपाल तिकीट जारी झाले आणि त्यांच्या नावाने गणितीय पुरस्कार देखील दिले जाऊ लागले. त्यांच्या १२५ व्या जयंतीनिमित्त, भारत सरकारने २०१२ या वर्षाला राष्ट्रीय गणित वर्ष (National Mathematics Year) आणि २२ डिसेंबरला राष्ट्रीय गणित दिन (National Mathematics Day) म्हणून घोषित केले.

रामानुजन यांच्या जीवनावर अनेक चित्रपटही बनले आहेत, ज्यात २०१५ मध्ये आलेला हॉलिवूड चित्रपट "द मॅन हू न्यू इनफिनिटी" सर्वात लोकप्रिय आहे, ज्यात रामानुजन यांची भूमिका ब्रिटिश अभिनेता देव पटेलने साकारली होती.

जी. एच. हार्डी यांनी एकदा जगातील महान गणितज्ञांना ० ते १०० च्या दरम्यान रेट केले होते. त्यांनी यात स्वतःला २५, महान जर्मन गणितज्ञ डेविड हिलबर्ट (David Hilbert) यांना ८०, आणि रामानुजन यांना १०० पैकी १०० गुण दिले होते.

आजही रामानुजन यांच्या गणिताच्या नोटबुक्स, संशोधन पेपर्स आणि हजारो प्रमेय एक अमूल्य ठेवा आहेत. त्यांच्या हस्तलिखित नोटबुक्समध्ये अशी शेकडो सूत्रे होती, त्यापैकी अनेक तर दशकांनंतर सिद्ध होऊ शकली, तर त्यांची शेकडो प्रमेय अजूनही अशी गणिताची कोडी बनलेली आहेत, जी त्यांच्या मृत्यूनंतर १०० वर्षांपेक्षा जास्त काळानंतरही सिद्ध करता आलेली नाहीत.

रामानुजन यांचे जीवन आपल्याला प्रेरणा देते की, ज्ञान मिळवण्यासाठी केवळ औपचारिक शिक्षणच महत्त्वाचे नाही, तर कठोर परिश्रम, प्रखर जिज्ञासा आणि अदम्य इच्छाशक्ती यातूनही महान गोष्टी साध्य करता येतात.

रामानुजन यांच्या जीवनाबद्दल अधिक काही जाणून घ्यायचे आहे का?